[수학] e 실생활 활용 예시&정의 유도

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함수관계로 자연로그의밑 e 유도 예시 :
1일에 초기금액 x의 100%이자를 지급하는 은행을 가정한다.
이 은행은 0.5일에는 x의 50%이자를 지급한다.
1원을 입금하고, 입출금 횟수에 따른 증가를 살펴보겠다.
은행에 2번 저축한 돈 = (1 + 1 * 반년분) * 반년분
3번 = (((1 + 1 * 반년분) * 반반년분) * 반반반년분
1 f(x) = x + x * 1/2
2 = x * (1 + 1/2) // 묶기
3 f(f(x)) = f(1) + f(1) * 1/2
4 = f(1) * (1 + 1/2) // 묶기
5 = x * (1 + 1/2) * (1 + 1/2) // 대입
6 = x * (1 + 1/2)^2 // 간소화
7 f(f(f(1))) = f(f(1)) + f(f(1)) * 1/2
8 = f(f(1)) * (1 + 1/2) // 묶기
9 = x * [(1 + 1/2)^2] * (1 + 1/2) // 대입
10 = x * (1 + 1/2)^3 // 간소화

일반화
1 f(x, z) = x + x/z
2 = x * (1 + 1/z) // 묶기
3 f(f(x, z), z) = f(x, z) + f(x, z)/z
4 = f(x, z) * (1 + 1/z) // 묶기
5 = x * (1 + 1/z) * (1 + 1/z) // 대입
6 = x * (1 + 1/z)^2 // 간소화
7 f(f(f(x, z), z), z) = f(f(x, z), z) + f(f(x, z), z) * 1/z
8 = f(f(x, z), z) * (1 + 1/2) // 묶기
9 = x * [(1 + 1/z)^2] * (1 + 1/2) // 대입
10 = x * (1 + 1/z)^3 // 간소화

x * (1 + 1/z)^t
t에 z를 두고,
z가 커질수록
e = 2.718...로 수렴한다.
lim t -> ∞ : (1 + 1/t)^t = e

활용

일반화된 수식에서 미지수를 마음대로 두고 활용하면 되겠습니다.
x = 초기금액.
t = 몇번 함수를 감쌀 것인지. 이자 지급 횟수
z = 이자 배율

x에 1을 두고, t와 z에 무한을 두면 e입니다.

널리 알려진 은행 예시에서 정의를 유도했습니다.
실생활에서 e 유도과정을 활용하는게 아닌, e자체를 활용하는건
공학쪽에서 f(x)= e^x 에 대해 미분이 똑같이 e^x 라는 것이 있겠습니다.
증명이 궁금하신분은 이쪽으로.
로그함수, 지수함수 미분 공식 유도입니다.
https://studyfield.tistory.com/516

로그함수, 지수함수 미분 공식 유도