[수학] 푸리에 급수, 푸리에 변환 실생활 예시&개념 정리 (스압, 데이터 주의)

출처 : 

제즈 스완슨의 푸리에(영문) : https://www.jezzamon.com/fourier/

딥러닝이 푸리에 변환을 만나면.. 푸리에 급수와 푸리에 변환 : https://www.clien.net/service/board/lecture/16091465

푸리에 급수와 푸리에 변환의 차이점 : https://ko.strephonsays.com/fourier-series-and-vs-fourier-transform-15285

 

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물결 모양의 패턴은 사인파(정현파)로 나눌 수 있다. 이미지 출처 : https://www.jezzamon.com/fourier/

푸리에 급수 : 
  수학적으로 나타낸 "정현파(sin)들의 합"

푸리에 변환 :
  주기적 신호는 유한한 정현파들의 합으로 표현이 가능한 반면,
  비주기적 신호는 무한히 많은 정현파를 합해야만 표현이 가능하다.
  따라서 비주기적 신호는 연속적인 모든 주파수 성분을 변수로 갖는 정적분식으로 표현이 가능하며,
  이렇게 표현한 적분식을 푸리에 변환이라고 한다.

대역폭 : 비주기적 신호를 푸리에 변환할 때 무한한 정현파항들이 필요하지만
 현실적으로는 근사하게 표현하므로 아주 많은 항들이면 충분하다.
 이 때 아주 많은 항들의 개수를 대역폭이라고 한다.

사각파(구형파)도 사인파(정현파)로 나눌 수 있다. 이미지 출처 : https://www.jezzamon.com/fourier/

* 깁스 현상 :
 비주기적 신호 이외에 주기함수인 사각파나 삼각파, 톱니파도 절벽 부분 때문에 무한대의 항들이 필요하다. 
 절벽 부분을 정현파로 완벽하게 표현하기 아주 어렵기 때문이다. 이를 깁스 현상이라고 한다.

톱니파, 이미지 출처 : http://www.ktword.co.kr/abbr_view.php?m_temp1=4174

삼각파, 이미지 출처 : http://skstar.net/wp/?p=326

 

푸리에 변환에 가우스 복소평면이 필요한 이유 : 
  오일러수식 때문. 
  복소평면은 복소수j를 이용한 회전( 파동의 진행에 해당)을 수학적으로 기술하기도 아주 간단하다.

가우스 복소평면 :

복소평먼에서 원이 그려짐에 따라 허수축 변화, 출처 : infograph님, https://infograph.tistory.com/243

  가로축에 실수 세로축에 허수를 매긴 2차원 직각좌표계(데카르트 좌표계).

푸리에 급수 실생활 예시(기타줄의 진동) : 

https://youtu.be/8YGQmV3NxMI

 

푸리에 변환 실생활 예시(사진을 비주기 함수로 해석해 푸리에 변환. JPEG 압축) : 

푸리에 해석을 응용하여 사진, 동영상 압축법 (수식 미포함) : https://netpilgrim.net/756

푸리에 해석으로 응용한 사진과 동영상 압축법

 

복소함수론, 디랙 델타함수와 함께 본 푸리에 변환 (수식 있음) :

https://ghebook.blogspot.com/2012/08/fourier-transform.html

푸리에 변환을 이용한 JPEG 압축 기법 (이미지 출처 : https://ghebook.blogspot.com/2012/08/fourier-transform.html)

 

 

 

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어떤 분은 푸리에 급수와 관련해서 인공지능 퍼셉트론 곱의 합 뉴런같다고 하시던데

저는 정현파, 삼각파, 사각파, 톱니파에서 사운드 생성 알고리즘이 생각났네요.

사람 목소리를 ADSR 단계로 분해하고 해석해서 인위적인 보이스를 만드는 거..

https://studyfield.tistory.com/495

[HKU] sin, cos Wave 활용 사운드 생성(악기 소리, 사람 목소리 등)